2018年度入試
出題分析と入試対策
  一橋大学 数学

過去の出題内容

2018年度

番号 内容 科目名 レベル
1 各位の数字の和に関する方程式の整数解 A やや難
2 放物線の接線と半円で囲まれた部分の面積 やや難
3 3個のさいころの出た目の積に関する確率 A 標準
4 四面体の体積の最大値 Ⅱ、B やや難
5 2曲線のグラフで囲まれた部分の面積

2017年度

番号 内容 科目名 レベル
1 条件付き対数関数の最大値、最小値
2 連立方程式の整数解 A 標準
3 条件から整式の決定 やや易
4 連立不等式が表す領域の面積の最小値 やや易
5 空間において帰納的に定義される点列 B やや難

2016年度

番号 内容 科目名 レベル
1 指数部分に未知数をもつ不定方程式 A 標準
2 一般項が\(\cos\)の式で表される数列の漸化式 Ⅱ、B 標準
3 3状態の確率に関する漸化式 A、B やや易
4 パラメタを含む3次関数の最大値 標準
5 [Ⅰ] 分母分子が同次式となる分数式のとる値 やや難
[Ⅱ] 変量の値を変化させたときの相関係数

2015年度

番号 内容 科目名 レベル
1 \(n\)以下の正の整数のうち\(n\)と互いに素となる整数 A 標準
2 座標平面上の正三角形の面積の取り得る値の範囲 Ⅰ、Ⅱ やや難
3 正\(n\)角形の頂点を結ぶ2線分が平行になる確率 A やや難
4 空間における2つの動点間の距離の最大最小 B 標準
5 [Ⅰ] 周期数列の和の計算 B 標準
[Ⅱ] 分散、相関係数、標準偏差

2014年度

番号 内容 科目名 レベル
1 偶数の素数は2であることに着目する素数の問題 A やや難
2 放物線と直線で囲まれた図形の面積の最小値
3 円周上の点から円周上の点への変換 標準
4 球が直円錐に内接するときの直円錐の表面積 A、Ⅱ 標準
5 硬貨の出方により数直線上を動く点に関する確率 A、B やや難

出題分析

分量と形式

試験時間120分、大問5題の形式が続いている。全問が記述式であり、難易度を考えると分量は多い。

過去5年間の分析

過去5年間の詳細分析はこちらPDF

出題分野の特徴

1°整数は1994年から出題が続いている。
2°確率は1993年から2017年を除いて出題されている。
3°図形問題、あるいは図形的に処理する問題が高い確率で出題されている。特にこの十年で空間図形の問題が8回出題されている。
4°微積分の問題の出題率が高い。
5°数列は他分野との融合問題として出題されることが多い。2011~2014年、2016年は確率、2010年は整数、2017年は空間図形との融合で漸化式をつくる問題である。また、2016年は一般項を予想して、それが正しいことを帰納法で証明する問題も出題されている。
6°今年度の1(1)のように論証能力の必要な問題が出題されることがある。

頻出分野分析

【確率】
過去に出題された問題を見ると、
2004年から2010年、2018年は「定義に従い個数を数え上げる、または、独立試行」
2011年から2014年は「漸化式を用いるタイプ」
の確率の問題が出題されている。
また、2005年、2007年、2008年、2009年は「確率\(p_{n}\)を最大とする\(n\)の値を求めよ」といった、いわゆる最大確率に関する問題が出題されている。2011年から2014年、2016年は漸化式を用いるタイプが続けて出題されている。このように、同タイプの問題を繰り返し出題する傾向にある。
この10年で出題された漸化式を用いる問題は、問題文に「漸化式をつくれ」といった誘導がない。問題文から、帰納的構造を見抜き、漸化式を利用することに気がつかなければいけない。
【整数】
この10年間では、
約数・倍数の関係に着目して不定方程式の整数解を求めるタイプは
2009年、2012年、2013年
大小関係などから範囲を絞ってしらみつぶしに調べることにより、不定方程式の整数解を求めるタイプは
2011年、2016年、2017年、2018年
余りに着目するタイプは
2010年
に出題されている。2010年は整数が2題出題されたが、ともに余りに着目するもので、そのうちの一題は数列との融合である。2012年の問題では素因数分解を利用して約数の個数を求める問題が出題されている。
一橋の整数問題は、良問が多く、難関校を受験する学生が知っていなければいけない手法を用いるものが多い。過去問を解くことが最良の対策となる。
【図形】
一括りに図形と言っても範囲が広い。まず、この10年間で平面図形、空間図形で分類すると、
平面図形
2009年、2013年、2018年
空間図形
2010年、2011年、2012年、2013年、2014年、2015年、2018年
となる。さらに、内容で分類すると、
座標を用いるもの
2009年、2011年、2012年、2015年、2018年
初等幾何などを用いた図形的考察によるもの
2011年、2013年、2014年
ベクトルの利用
2009年、2013年
となる。
図形問題は、苦手とする学生が多い分野である。しかし、大学入試で問われる能力は高度な図形感覚ではなく、基本となる定理公式の理解とその応用力である。図形問題は、問題で与えられた条件から導かれる図形性質を理解した上で、
「ベクトル、座標を導入することにより計算中心に考える」
「図形的考察によって初等幾何の定理、三角関数などを用いる」
のいずれかのタイプとなる。図形的考察以上に、座標やベクトルによる計算中心の問題が多いだけに、図形問題に苦手意識を持つことなく取り組んでもらいたい。
【微積分】
微積分に関する問題をみると、
接線に関する問題
2010年
最大最小に関する問題
2016年、2017年
面積を求める問題
2009年、2011年、2013年、2014年、2018年
といったように出題されている、接線に関する問題では、2次方程式の問題に帰着させて解くものもある。また、全体的に計算量が多い。

入試対策

数学で合格する点数をとるには、難問が出来なければいけないわけではなく、標準的なレベルの問題を十分に解けるかどうかであることを忘れてはいけない。まずは、どのような分野であれ、典型問題はきちんと解いておく必要がある。
過去の傾向からもわかるように、整数、確率、図形の3分野は今後も出題されると考えるべきである。次いで、微積分、数列の分野の出題率が高い。これら以外には、文系数学の主要な題材である2次式を扱う問題は2016年度の5[Ⅰ]、2018年度の4のように、他分野と融合する形で出題されることがある。また、不等式の出題もある。
2015年、2016年にはデータの分析が出題された。来年以降にこの分野が出題されるかどうかはわからないが、センター試験程度の対策はしておいた方がよいだろう。
一橋の出題数は大問5題である。そのうち、整数、確率、図形が出題される可能性が高い。当然、これらの分野を強化すべきであるが、次のことを参考にしてもらいたい。
整数は、"約数・倍数の関係"、"剰余"、"素因数分解の一意性"に関する基本事項の整理、"必要条件から範囲の絞り込み"という手法に慣れることが重要である。一橋の過去の出題はこれらの項目の学習に最適な題材である。過去問、およびそれらの類題を解くことで十分な対策になるはずである。
確率は、繰り返し同内容の問題が出題されているのが特徴である。出来るだけ多くの過去問にあたっておくとよい。その際、前述した傾向を参考にし、テーマ別に問題を整理するのも一案である。どのような問題が繰り返されているかがはっきりわかるだろう。一橋の確率では、"数列の和の計算から場合の数を数える"、"漸化式の利用"といった数列との融合問題が多い。特に漸化式では、基本的な2項間漸化式以外にも、連立漸化式などの扱いに慣れておかなければいけない。
図形に関する問題は、苦手意識を持っている学生も多いと思う。そのような人は特に、"座標幾何"、"ベクトル"に関する基本事項をしっかり確認し、計算中心で解く図形問題の演習を増やすとよい。これらの分野の問題は、高度な図形感覚は不要で、きちんとした計算力さえあれば解くことができるものが多い。そしてその能力は努力すれば身につくものである。また、図形問題を解く際に用いる幾何の定理・公式は自分なりに整理しておくとよい。
また、確率に限らず漸化式に関する出題が多い。漸化式から一般項を求める計算、および帰納的構造をつかみ、漸化式をつくる作業がきちんとできるように練習が必要である。

最後に繰り返そう。一橋合格のためには
過去問の演習
典型問題の演習
計算力の強化
を徹底するべきである。
※本ページ内容は一部のコメントを除き、駿台文庫より刊行の『青本』より抜粋。