2017年度入試
出題分析と入試対策
  一橋大学 数学

過去の出題内容

2017年度

番号 内容 科目名 レベル
1 条件付き対数関数の最大値、最小値
2 連立方程式の整数解 A 標準
3 条件から整式の決定 やや易
4 連立不等式が表す領域の面積の最小値 やや易
5 空間において帰納的に定義される点列 B やや難

2016年度

番号 内容 科目名 レベル
1 指数部分に未知数をもつ不定方程式 A 標準
2 一般項がcosの式で表される数列の漸化式 Ⅱ、B 標準
3 3状態の確率に関する漸化式 A、B やや易
4 パラメタを含む3次関数の最大値 標準
5 [Ⅰ] 分母分子が同次式となる分数式のとる値
[Ⅱ] 変量の値を変化させたときの相関係数

やや難

2015年度

番号 内容 科目名 レベル
1 n以下の正の整数のうちnと互いに素となる整数 A 標準
2 座標平面上の正三角形の面積の取り得る値の範囲 Ⅰ、Ⅱ やや難
3 正n角形の頂点を結ぶ2線分が平行になる確率 A やや難
4 空間における2つの動点間の距離の最大最小 B 標準
5 [Ⅰ] 周期数列の和の計算
[Ⅱ] 分散、相関係数、標準偏差
B
標準

2014年度

番号 内容 科目名 レベル
1 偶数の素数は2であることに着目する素数の問題 A やや難
2 放物線と直線で囲まれた図形の面積の最小値
3 円周上の点から円周上の点への変換 標準
4 球が直円錐に内接するときの直円錐の表面積 A、Ⅱ 標準
5 硬貨の出方により数直線上を動く点に関する確率 A、B やや難

2013年度

番号 内容 科目名 レベル
1 約数・倍数の関係を考える不定方程式の整数解 A 標準
2 頂点が円周上を動くときの三角形の面積の最大値 Ⅰ、B 標準
3 放物線と直線で囲まれた図形の面積の最小値 標準
4 定点から球面上を動く点までの距離の最大値 B 標準
5 サイコロの目により定まるn桁の数に関する確率 A、B やや難

出題分析

分量と形式

試験時間120分、大問5題の形式が続いている。全問が記述式であり、難易度を考えると分量は多い。

過去5年間の分析

【2017年度】
昨年度までと比べて変わったことは、
1が整数ではなかった」、「選択問題がなくなった」、「データ分析の出題がなかった」
ということであり、過去の一橋大の出題から見て大きく変わったことは
「1993年から続いていた確率の出題がなかった」
ということである。これには受験生は戸惑ったことと思う。
また、これまで難しい問題の出題を続けてきた大学とは思えないくらい、取り組みやすい問題が多かった。昨年から易化の傾向はあったが、ここまで易しくなると、ハイスコアの争いとなり、易しい問題を確実に解くことが合格の最低条件となる。さらに、昨年から続く傾向として、小問に分かれている問題が少なく、過去の出題とは形式が変わってきている。小問がないことにより、解法の糸口を自ら見つけなければいけない難しさはある。とはいっても、今年の34は誘導がなくても解けなければいけないレベルの問題である。
各問題を見ていこう。
1は条件付き2変数の対数関数の最大値、最小値を求める問題である。一橋では、最近20年のうち2004年以外すべて1は整数が出題されていたが、今年度は違う分野の出題であった。内容は基本的なものであり、受験生は肩すかしを食った感じであろう。2変数といっても、a+b=9の条件から、1つの変数を消去すれば直ちに1変数の問題となる。ここで、注意するべきことは消去した文字の条件、bを消去した場合であればb≧1を忘れないことである。本問では9-a≧1となり、これからaの変域を求めることができる。
本問は、必ず完答しなければいけないレベルの問題である。
2は整数問題であった。大小関係などの必要条件から範囲を絞り、後はしらみつぶしに調べるという一橋で頻出の手法を用いる問題である。
まずは、与えられた式をどのように変形して、範囲を絞る式をつくるかが問題となる。例えば、2式の差をとると、定数項7が消去され、x2-y2=yz-zxとなり、これは(y-z)(x+y+z)=0と変形できる。y=zのときは不合理であることを示し、x+y+z=0を導くと、x、y、zのいずれかのとる値の範囲を絞ることができる。他にも、3式の和をとると3つの平方式の和の形を作ることができ、これから範囲を絞ることができる。
一橋の過去問をある程度解いている受験生は対応できたと思う。差のつく問題である。
3整式に関する問題は一橋では珍しい。まずはP(x+1)-P(x)=2xから、整式P(x)の次数を定める。次にP(0)=1であることと、P(x+1)-P(x)を計算して、右辺の2xと係数を比べることによりP(x)が決定するといった基本的な問題である。
また、P(x+1)-P(x)の式が、xが整数nであるとき数列{P(n)}の階差であることから、P(n)を求め、恒等式の考え方からP(x)を決定することもできる。
難易度は高くないが、整式の扱いに慣れていない受験生は苦労したと思う。
4与えられた連立不等式の係数に3つの文字があり、扱いにくい印象を持つ。けれども、xy平面に不等式が表す領域Dを描いてみると、ax+by=1cx-by=-1ax+by=-1cx-by=1y切片が等しいことから、面積は簡単にa、b、cの式で表されることがわかる。後は1の場合と同じく、a+b+c=1を用いて、a、cを消去し、面積をbの式で表し最小値を求めればよい。
5直線k、l、mの方向ベクトルをそれぞれ、とすると、P1の座標と=0からP2の座標を求めることができる。同様にして、P2の座標と = 0からP3の座標を求めることができる。このことを繰り返すと、P4P5……と決定していくことから、「漸化式をつくる」という方針を立てることは容易である。ここで、は、nを3で割った余りが1のときはl、nを3で割った余りが2のときはm、nが3の倍数のときはkと垂直であることから、nを3で割った余りで分類するという作業が必要となる。だが、本問の場合、方向ベクトルの成分がそれぞれ(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)であり、x、y、z成分を入れ替えたものになっているという特徴がある。そのため、扱う漸化式はnを3で割った余りで分類したいずれの場合でも同じ形になり、そのことに気づけば計算量は多くない。
漸化式に関する問題は、最近では2016年、2014年、2013年、2012年、2011年、2010年に出題されている。2016年には2題が出題された。極めて出題率が高いといえる。

【2016年度】
14までは小問がないため、答えに到るまでのプロセスをきちんと答案に書ききる記述力が必要となる。試験後に、「答は予想できたが、説明がうまくかけなかった」という声を多く聞いた。
1は例年通り整数からの出題であった。与えられた式は6・27x+1=7・25xと表せ、x=0,2がこれを満たすことはすぐにわかる。「6・27xの方が7・25xよりも大きくなるスピードが速い(*)」ということから、求める解はx=0,2だけであろうと予想することはできるが、x≧3において、この等式が成り立たないことをどのように示すかが問題である。式の評価、または、数学的帰納法による証明が考えやすいだろう。
(*)のような感覚は、整数での問題の読み方の一つとして身につけてもらいたいものであるが、文系の学生にとっては難しい。近年では、2011年にもこの感覚があると考えやすい問題が出題されている。
2は3項間漸化式の関する問題である。文系では、2項間漸化式を扱うことが多いために少しギョッとした人もいただろうが、n=1,2,3,・・・の場合で調べてみると状況はすぐにわかる。「すべての正の整数nに対して、    が成り立つ」といった命題(全称命題)は、必要条件から考えていくことが定石である。a3=cos2θ,a4=cos3θであることが必要であることから、簡単にcosθの値を求めることができる。後は求めた値に対して、「すべてのnについてan=cos(n-1)θが成り立つこと」を確認して十分である。
3は、2枚の硬貨の表、裏の推移を追っていけば、漸化式をつくることはすぐにわかるだろう。本問は"2枚とも表"、"表と裏が1枚ずつ"、"2枚とも裏"の3状態であるから、n回の操作後のそれぞれの確率をan、bn、cnと置くことにより、連立の漸化式をつくる。後はan+bn+cn=1であることを利用すればよい。2016年の問題の中では、易しい問題である。一橋では過去に出題された問題と同じような手法で解ける問題が少なくない。確率漸化式の問題は、2011年、2012年、2013年、2014年と出題されている。過去問を練習してきた人にとって、本問は難なく解けたはずである。
4は、係数に文字を含んだ3次関数の最大値に関する典型問題である。aの値により、y=f(x)のグラフの形は変わる。"極値をもつか"、"定義域内に極値があるか"を考える。また、最大値の候補は、極値、定義域の端点のf(x)の値であるから、y=f(x)のグラフを見ながらどの点で最大値をとるかに着目していけばよい。1977年(古い!)の東京大学で同じ問題が出題されている。古典的に有名な問題であるため、類題を解いたことがある人も多かったようだ。このような手垢のついた問題を一橋で出題することは珍しい。
5は2015年と同じく選択問題である。[Ⅰ]は、2016年の出題の中では、最も難しい。ベクトルの顔をしているが、実際は、2変数関数の変域を求める問題である。と置き、両辺を平方すると、r2は分子、分母がa、bの2次式である分数式で表される。a≠0であることに注意し、分子、分母をa2で割って、=tと置くことで分子、分母はtの2次式で表される。後は分母を払って、tの2次方程式と考え、それが正の実数解をもつ条件を考える。2次方程式の問題に帰着して考える問題(昨年度の2もそうである)は、苦手にする人が多いが、難関校を受験する場合身につけておかなければならない重要な考え方の一つである。
[Ⅱ]は、2015年に続いてデータの分析が出題された。内容は、分散、標準偏差、相関係数の求め方を知っていれば解ける簡単なものである。5は2016年の最難問と簡単な問題の選択となった。当然であるが、[Ⅱ]を選択した方が有利である。このような出題が来年以降続くかどうかはわからないが、データの分析に関してはセンター試験程度の対策はしておく必要がある。

【2015年度】
1n以下の正の整数のうち、nと互いに素であるものの個数を数える問題である。倍数の個数を数える問題は一橋の整数問題では珍しいが難しくはない。(3)では、p<qと大小関係を設定し、E(n)を評価するという一橋でよく用いられる考え方を利用する。2は難しい問題である。(1)では、図形的な考察から、点Cの座標をa,bで表すと、比較的簡単に結果は得られる。(2)では、s,ta,bの対称式であることから、a,bの存在条件を考える。このような問題は、一橋に限らず、文系難関校でよく出題されるものである。32と同じく難しい問題である。まず、lmが平行である条件は、正n角形の外接円において、各頂点が等間隔に現れることに着目すると考えやすい。さらに、nの偶奇での分類が必要となる。4のように、独立に動く2つの点に関する問題は、一橋では頻出である。はじめに点Qを固定して、PQの長さを最小、最大とするPの位置を考える。続いて、固定していたQを動かして、PQの長さの最小値、最大値を求める。これも図形的な考察により、簡単に求めることが出来る。また、P(cosα,sinα,0)(0≦α<2π),Q(cosβ,0,+sinβ)(0≦β<2π)として、PQ2α、βで表し、予選決勝法を考えたようである。5は選択問題である。[Ⅰ]は、周期をもつ数列の和に関する問題。具体的にいくつかの項を調べていけば、すぐに方針は立つと思う。(1)は難しくない。(2)で差がついたようである。[Ⅱ]は分散、相関係数、標準偏差の求め方を知っていれば解ける簡単なものである。
145の出来が合否のポイントとなったようだ。

【2014年度】
2は近年の一橋の出題の中でも易しい問題であったが、他の問題は標準からやや難レベルの問題である。2013年同様、計算量が少ないセットとなっている。
1は解法の糸口を見つけにくい問題であるが、偶数の素数は2に限ること、また、3で割った余りで分類して考える手法は過去にも出題されている。2は放物線と接線で囲まれた部分の面積の最小値を求めるもので、2013年も同じような問題であった。3は円周上の点を円周上の点に移す問題であるが、このような変換に関する問題は近年では2012年に出題されている。(1)の結果から2倍角公式の形であることに気がつくことがポイントとなる。4では2013年に続いて空間図形の出題である。本問は、2002年に類題が出題されている。5は例年通り確率の問題である。2011、2012、2013年と同じように"漸化式をつくれ"という指示はないが、漸化式をつくる方針が考え易い。また、漸化式をつくらなくても、移動の仕方を考えると裏が1回か3回出る場合に限られることがわかり、そのことから解くことができる。ただし、キチンとした答案をつくることは難しい問題である。

【2013年度】
すべて標準以上の問題だが、例年と比べると計算量が少ないため、扱いやすい問題が多い。その中でも12は確実に得点したい問題である。
1は短時間で解くには範囲を絞って考える必要があるが、しらみつぶしに調べても答は出る。2は図形的な考察をすればすぐに方針は立つ。この2問を解き、残った問題で1問分の得点をすれば、合格に近づくであろう。5は(1)と(2)、(3)で方針を変える必要があり、少し意地が悪い問題である。過去問を研究し、漸化式の利用に慣れていれば手が出ない問題ではない。3は文系らしいいい問題である。(1)が出来れば、(2)、(3)は難しくない。4は少し昔であれば典型問題であった。近年では扱う機会の少ない問題で、出来が悪そうである。

出題分野の特徴

1.整数は1994年から出題が続いている。
2.確率は1993年から2016年まで出題が続いていた。
3.図形問題、あるいは図形的に処理する問題が高い確率で出題されている。特にこの十年で空間図形の問題が7回出題されている。
4.微積分の問題の出題率が高い。
5.数列は他分野との融合問題として出題されることが多い。2011~2014年、2016年は確率、2010年は整数との融合として出題されている。今年度は、空間図形との融合として出題された。2016年は一般項を予想して、それが正しいことを帰納法で証明する問題も出題されている。
6.論証能力の必要な問題が出題されることがある。

頻出分野分析

【確率】
過去に出題された問題を見ると、
2004年から2010年は「定義に従い個数を数え上げる、または、独立試行の確率」
2011年から2014年は「漸化式を用いるタイプ」
の確率の問題が出題されている。
また、2005年、2007年、2008年、2009年は「確率pnを最大とするnの値を求めよ」といった、いわゆる最大確率に関する問題が出題されている。2011年から2014年、2016年は漸化式を用いるタイプが続けて出題されている。このように、同タイプの問題を繰り返し出題する傾向にある。
最近に出題された漸化式を用いる問題では、問題文に「漸化式をつくれ」といった誘導がない。問題文から、帰納的構造を見抜き、漸化式を利用することに気がつかなければいけない。

【整数】
最近では、
約数・倍数の関係に着目して不定方程式の整数解を求めるタイプは
2004年、2007年、2009年、2012年、2013年
必要条件から範囲を絞ってしらみつぶしに調べることにより、不定方程式の整数解を求めるタイプは
2005年、2008年、2011年、2016年、2017年
余りに着目するタイプは
2006年、2010年
に出題されている。2010年は整数が2題出題されたが、ともに余りに着目するもので、そのうちの一題は数列との融合である。2012年の問題では素因数分解を利用して約数の個数を求める問題が出題されている。
一橋の整数問題は、良問が多く、難関校を受験する学生が知っていなければいけない手法を用いるものが多い。過去問を解くことが最良の対策となる。

【図形】
一括りに図形と言っても範囲が広い。まず、平面図形、空間図形で分類すると、
平面図形
2004年、2005年、2006年、2009年、2013年
空間図形
2008年、2010年、2011年、2012年、2013年、2014年、2015年
さらに、内容で分類すると、
座標を用いるもの
2005年、2006年、2008年、2009年、2011年、2012年、2015年
初等幾何などを用いた図形的考察によるもの
2004年、2011年、2013年、2014年
ベクトルの利用
2006年、2008年、2009年、2013年
となる。
図形問題は、苦手とする学生が多い分野である。しかし、大学入試で問われる能力は高度な図形感覚ではなく、基本となる定理公式の理解とその応用力である。図形問題は、問題で与えられた条件から導かれる図形性質を理解した上で、
「ベクトル、座標を導入することにより計算中心に考える」
「図形的考察によって初等幾何の定理、三角関数などを用いる」
のいずれかのタイプとなる。図形的考察以上に、座標やベクトルによる計算中心の問題が多いだけに、図形問題に苦手意識を持つことなく取り組んでもらいたい。

【微積分】
微積分に関する問題をみると、
接線に関する問題
2004年、2006年、2010年
最大最小に関する問題
2007年、2016年、2017年
面積を求める問題
2005年、2009年、2011年、2013年、2014年
といったように出題されている、接線に関する問題では、2次方程式の問題に帰着させて解くものもある。また、全体的に計算量が多い。

入試対策

数学で合格する点数をとるには、難問が出来なければいけないわけではなく、標準的なレベルの問題を十分に解けるかどうかであることを忘れてはいけない。まずは、どのような分野であれ、典型問題はきちんと解いておく必要がある。
過去の傾向からもわかるように、整数、確率、図形の3分野は今後も出題されると考えるべきである。次いで、微積分、数列の分野の出題率が高い。これら以外には、文系数学の主要な題材である2次式を扱う問題は2016年度の5[Ⅰ]のように、他分野と融合する形で出題されることがある。また、不等式の出題もある。
2015年、2016年にはデータの分析が出題された。来年以降にこの分野が出題されるかどうかはわからないが、センター試験程度の対策はしておいた方がよいだろう。
一橋の出題数は大問5題である。そのうち、整数、確率、図形が出題される可能性が高い。当然、これらの分野を強化すべきであるが、何から手をつけてよいだろうか。次のことを参考にしてもらいたい。
整数は、"約数・倍数の関係"、"剰余"、"素因数分解の一意性"に関する基本事項の整理、"必要条件から範囲の絞り込み"という手法に慣れることが重要である。一橋の過去の出題はこれらの項目の学習に最適な題材である。過去問、およびそれらの類題を解くことで十分な対策になるはずである。
確率は、繰り返し同内容の問題が出題されているのが特徴である。出来るだけ多くの過去問にあたっておくとよい。その際、前述した傾向を参考にし、テーマ別に問題を整理するのも一案である。どのような問題が繰り返されているかがはっきりわかるだろう。一橋の確率では、"数列の和の計算から場合の数を数える"、"漸化式の利用"といった数列との融合問題が多い。特に漸化式では、基本的な2項間漸化式以外にも、連立漸化式などの扱いに慣れておかなければいけない。
図形に関する問題は、苦手意識を持っている学生も多いと思う。そのような人は特に、"座標幾何"、"ベクトル"に関する基本事項をしっかり確認し、計算中心で解く図形問題の演習を増やすとよい。これらの分野の問題は、高度な図形感覚は不要で、きちんとした計算力さえあれば解くことができるものが多い。そしてその能力は努力すれば身につくものである。また、図形問題を解く際に用いる幾何の定理・公式は自分なりに整理しておくとよい。
数列は、漸化式に関する出題が多い。漸化式から一般項を求める計算、および帰納的構造をつかみ、漸化式をつくる作業がきちんとできるように練習が必要である。

最後に繰り返そう。一橋合格のためには
過去問の演習
典型問題の演習
計算力の強化

を徹底するべきである。

※本ページ内容は一部のコメントを除き、駿台文庫より刊行の『青本』より抜粋。