2019年度入試
出題分析と入試対策　 東京大学　数学（文系）

過去の出題内容

2019年度

第1問 2つの三角形の面積が一定のときに、2つの線分の長さの比の最大値と最小値を求める問題。（理科第2問と類似の問題）
第2問 座標平面上で2つの条件を満たす動点の動く領域と面積、なす角の余弦のとりうる値の範囲を求める問題。
第3問 正八角形の頂点をコインの表裏に応じて動く点について、ある事象が起こる確率を求める問題。
第4問 2つの動点に対してベクトルを用いて定められる点の動く範囲の図示とそれに関する論証問題。

2018年度

第1問 放物線上の点から2接線への距離に関する問題と、放物線を境界線とする領域内の点に対する不等式の成立条件を求める問題。
第2問 で定められる数列が整数となる自然数nの値を求める問題。
（理科第2問と類似の問題）
第3問 3次関数が単調に増加する条件、及び3次方程式の相異なる3実数解の中央の解が1より大きくなる条件を求める問題。
（理科第4問と類似の問題）
第4問 2つの動点を用いてベクトルで定められる点の軌跡・領域と面積を求める問題。
（理科第3問と類似の問題）

2017年度

第1問 等式の関係式を満たす2変数で表された2つの面積の比の値の最大値を求める問題。
第2問 正六角形の辺上を独立に動く2点から定まる動点が通りうる範囲の面積を求める問題。
第3問 座標平面上の格子点上を座標軸と平行に動く点に関する確率を求める問題。
(理科第2問と類似の問題)
第4問 一般項が与えられた数列が満たす漸化式を求め,整数問題に応用する問題。
(理科第4問と共通の問題)

2016年度

第1問 座標平面上の3点が鋭角三角形の頂点をなす条件を求める問題。
第2問 巴戦で戦う3チームが2連勝して優勝する確率を求める問題。
(理科第2問と類似の問題)
第3問 2つの放物線が接する条件と2つの放物線が囲む部分の面積の最大値等を求める問題。
第4問 3nを10及び4で割った余りと、漸化式で定められる数列のx10を3で割った余りを求める問題。

2015年度

第1問 整数についての不等式に関する命題の真偽判定問題。
第2問 ある条件をみたす放物線または直線の|x|≦1の部分が通過する範囲とその面積を求める問題。
第3問 x軸に接する円とy軸に接する円が互いに外接するとき、半径についての式の最小値を求める問題。
第4問 コインを投げ左から文字を書いていくとき、左からn番目の文字に関する確率を求める問題。
(理科第2問と類似の問題)

2014年度

第1問 2次関数の最大値と3次関数の最小値に関する問題。
第2問 ある操作を繰り返し行うとき、n回目に赤球を取り出す確率を求める問題。
（理科第2問(2)までと共通の問題）
第3問 ある条件を満たして動く線分の通過する領域を求める問題。
（理科第6問と類似の問題）
第4問 漸化式で定められる整数を素数で割った余りに関する問題。
（理科第5問(3)までと共通の問題）

2013年度

第1問 絶対値のついた関数を立式し、その増減を調べ、極値を求める問題。
第2問 座標平面上に与えられた点と放物線に関して、2つの線分の長さの差、3つの線分の長さの和が一定であることを証明する問題。
第3問 不等式の条件を満たして変化する2変数の関数の最小値を求める問題。
第4問 2人でコインを投げて行うゲームにおいて、一方が勝者となる確率を求める問題。
(理科第3問(1)と共通の問題)

2012年度

第1問 2元2次方程式を満たす実数の最大値を求める問題。
第2問 座標平面上の三角形の面積の最大値を求める問題。
第3問 正三角形を区切った9つの部屋を移動する点に関する確率の問題。
(文理共通の問題)
第4問 放物線外の1点から引いた2つの接線と放物線とで囲まれる領域の面積に関する問題。

2011年度

第1問 いくつかの条件を満たす3次関数の定積分の最小値を求める問題。
第2問 逆数の小数部分の作る数列が、定数数列になる条件を求める問題。
(文理一部共通の問題)
第3問 ある不等式の条件を満たす整数の組が、ある等式の条件を満たすときの個数を求める問題。
(文理一部共通の問題)
第4問 放物線上に頂点をもつ二等辺三角形の底辺の両端が動くときの、重心の軌跡を求める問題。
(文理共通の問題)

2010年度

第1問 2つの三角形の面積が等しくなる条件と面積の和の最大値に関する問題。
第2問 定積分を含む等式が恒等式となる条件を求める問題。
第3問 2つの箱の間でボールを移動する操作の繰り返しに関する確率の問題。
(文理一部共通の問題)
第4問 円周上を一定の速さで動く3点が直角二等辺三角形を作る条件に関する問題。
(文理共通の問題)

出題分析

分量とパターン

4題(100分)。すべて論述式問題である。解答用紙は1枚で、第1、2問が表面、第3、4問が裏面である。

内容

東大文科の問題の特徴として、次のようなことが挙げられる。
(ⅰ)図形を素材とする問題が多い。
(ⅱ)確率と数列、整数と数列など、いくつかの単元を融合した問題がよく出る。
(ⅲ)整数に関する問題、証明問題など、論証力を重視する問題が多い。
(ⅳ)確率分野と数学Ⅱの微積分野の問題はほぼ必ず出題される。
(ⅴ)小問による誘導が少なく、構想力を要求する問題が多い。

難易度

ここ3年間の各問の難易度は、次の通りである。
19年度　 第1問…標準　　
第2問…標準　　
第3問… 標準　　
第4問…標準
18年度　 第1問…やや難　　
第2問…標準　　
第3問… やや易　　
第4問…標準
17年度　 第1問…易　　　
第2問…標準　　
第3問…やや易　　
第4問…標準

入試対策

上記【内容】で述べたような特徴をもつ東大文科の数学の問題が解けるようになるためには、表面的ではない、本物の学力が必要とされる。解法のパターンを覚えているだけでは通用しない。文系の受験生であれば、文系科目がある程度できるのは当然のことなので、数学の出来・不出来が合否に大きく影響を及ぼすことになる。文系受験生であればこそ、数学を疎かにすることなくしっかりと学習しておきたい。
まず、
1° 基本事項をしっかりと身につけること
は当然である。近年、教科書レベルの内容でさえしっかりと身につけていない受験生が目立ってきている。まずは、教科書レベルのことができなければ話にならない。
次に、
2° 図形が苦手でないようにしておくこと
である。中学で学んだ図形の知識のうち大学入試にも役立つ内容を整理して頭の中に入れておくと同時に、積極的に図形問題に取り組んでおきたい。
また、
3° 計算力をつけておくこと
とともに、
4° 論証力をつけておくこと
である。日頃から、必ず手を動かして最後まで計算をやり遂げるとともに、論理的にきちんとした答案を書く練習を積んでおきたい。定理や公式の証明も疎かにせず、"数学の機構"をじっくりと学んでおくことは、未知の問題に出会ったときに解法の糸口を見いだす上で、大きな手助けになることであろう。また、すぐに解けない問題でも、粘って考えることも大切である。
結局のところ、
5° 正統的な数学の学習をすること
に尽きる。はじめに述べたことの繰り返しになるが、パターン暗記や山かけなどの小手先の技術ではない、本格的で精密な思考力と論述力を鍛えておくことが、東大入試を突破するために最も重要なことなのである。
※本ページ内容は一部のコメントを除き、駿台文庫より刊行の『青本』より抜粋。